lunes, 26 de noviembre de 2007

Actividad

A partir de las relaciones entre Subsector Matematicas, Lenguaje,
Artes plasticas, Comprension del Medio
Compararemos a traves de fotografias, objetos escogidos previamente por el profesor, plantas y verduras la composicion geometrica, estructural y estetica de ellos.
Luego escogeremos tres para desarrollar una composicion y dibujo seleccionando las similitudes y diferencias que mas les llamaron la atencion.
Realizaremos con este material una exposicion en el aula.

martes, 20 de noviembre de 2007

Profundicemos la idea de Geometria sagrada



Introducción al estudio de la Geometría Sagrada – aproximación científica



En la ciencia somos testigos de un cambio de concepción en la manera como se percibía la naturaleza fundamental o también llamada materia. La materia era considerada desde un punto de vista de sustancia (partículas, quantos) pero actualmente sabemos que la naturaleza fundamental del mundo material solo es posible conocerla por los patrones que subyacen detrás de la materia y que existen como formas o estructuras geométricas de onda.
Tanto nuestros órganos de percepción, como el mundo de fenómenos que percibimos parecen entenderse mejor como sistemas de patrones puros, o como estructuras geométricas de forma y proporción.

En la biología, el papel fundamental de la geometría y la proporción se vuelve más evidente cada día. Debemos revisar nuestras ideas acerca de la codificación genética como un vehículo de replicación y continuidad. Esta codificación no descansa en átomos particulares como carbono, hidrogeno, oxigeno o nitrógeno que es la sustancia de la que esta hecho un gen. El ADN, tiene la función de preservar la vida pero no es solo la composición molecular del ADN lo que permite esta extraordinaria labor sino es su forma helicoidal basada en una larga espiral de dodecaedros desdoblados. Así, podemos asumir que la existencia de patrones geométricos y proporciones exactas es anterior a la sustancia misma. La vida comenzó sin la necesidad de una contraparte material.



Es decir, la molécula del ADN que es portadora de vida, a diferencia de cualquier otra molécula se caracteriza fundamentalmente por su estructura geométrica que es capaz de organizar las ondas-partículas y permitir implotar y distribuir la frecuencia y el voltaje de las ondas de tal manera que cree un vértice de succión y evite la destrucción de otras ondas y su propia destrucción
El estudio de la Geometría Sagrada nos devuelve la capacidad para crear vida. En base a ciertas proporciones, patrones y arreglos de onda podemos ser capaces de recrear las condiciones necesarias para nuestro desarrollo de conciencia, elevando nuestra calidad de vida y nuestra capacidad de amar.

Los diferentes grados de percepción de la realidad deben pensarse no como diferencias de sustancia sino como diferencias de longitud de onda, de proporción. Por ejemplo, cuando olemos una rosa, no estamos respondiendo a las sustancias químicas de su perfume, sino a la geometría de su construcción molecular. Es decir, la geometría determina la condición de la sustancia. De la misma forma, nosotros no escuchamos simples diferencias cuantitativas en la frecuencia de onda del sonido, sino diferencias logarítmicas, proporcionales entre las frecuencias y la expansión logarítmica que constituye la base de las espirales geométricas.
Recordemos que en la teoría de Campo Unificado, nuestros científicos dicen que todo el universo esta formado por una sola sustancia. Llamémosle Dios, Absoluto, Éter o como queramos, la comprensión última de la realidad nos dice que todo es Uno.

La distribución de nuestro cuerpo en múltiplos de cinco esta en íntima relación con nuestra capacidad para distribuir la vida. En la medida en que vamos ampliando nuestra capacidad de percepción tendemos a organizar nuestro mundo de espacio visual, espacio audible y espacio visible en manifestaciones geométricas de frecuencias de orden porque nos restituye la capacidad para crearnos internamente. De ahí la necesidad de muchas culturas por crear manifestaciones artísticas usando la Geometría Sagrada.

La conciencia humana es la única habilidad para percibir la transparencia entre las relaciones absolutas y permanentes contenidas en las formas insustanciales del orden geométrico, y las formas transitorias, cambiantes de nuestro mundo actual. El contenido de nuestra experiencia resulta de la arquitectura inmaterial, abstracta, geométrica que esta compuesta de ondas armónicas de energía, nodos de relación, formas melódicas que manan de la eterna fuente de la proporción geométrica.


Secuencia numérica Fibonacci
La secuencia numérica Fibonacci surge de la suma de los dos términos anteriores, cualesquiera que sean los primeros dos términos. A partir del vacío y de la unidad, o sea del 0 y del 1 comienza la secuencia como sigue: 0, 1,1,2,3,5,8,13,21,35, etc.
Derivamos Phi de esta secuencia dividiendo cualquier número por su inmediato anterior. Es importante notar que en la medida en la que nos alejamos del 0 y tomamos términos mas granes, el numero Phi se va refinando. Así el valor de Phi para el 6to y 56to es de 1.6666... mientras que el valor para el 30 y el 29 es de 1.6180339887...

En el ser humano el ombligo marca la proporción Dorada en relación a nuestra altura total y la nariz en la altura del cráneo. En el mundo inorgánico aparece en el numero de rayos que emerge a partir de un único rayo de luz que alcanza la superficie de dos hojas de virio en contacto, en la secuencia de los electrones de un átomo de hidrogeno al cambiar su estado de energía y brincar de las orbitas inferiores a las superiores y luego regresar a su estado original.”
Fractal
Recordemos que la misma estructura dodecaedrica que forma el ADN es la estructura de la retícula Planetaria y es la misma estructura Dodecaedrica del Zodiaco. Esto permite que la energía de la vida se transmita entre modelos de tamaño diferente pero de proporción idéntica. La interconexión de nuestra vida es intima con todo el mundo de la Naturaleza.
La Geometría Sagrada nos permite entablar un mismo lenguaje y comunicarnos armónicamente entre seres de distintas especies.
Imaginemos esta sustancia llamada Éter o Campo Unificado como una gelatina. El primer movimiento de organización es el de una espiral que gira sobre su propio eje y es auto recurrente. Haciendo este primer movimiento se consume el trazado de un tubo toroide. Esta imagen nos permite comprender que el universo en el que vivimos esta hecho de ondas auto recurrentes. Estas ondas, organizadas en el Tubo Toro son la base de la Creación. Eventualmente se anidan varios tubos toro fractalmente. El termino fractal se refiere a la característica de un objeto para que la totalidad de sus partes esté contenida en cada una de sus partes.
Acercamiento al trabajo de Dan Winter
La invariabilidad de escala es la llave par a la gravedad y para la creación de vida PORQUE la auto-similaridad (embonacion) permite (no-destructivamente) la COMPRESION (fusión, colapso). Lo que Dan Winter ha hecho es desarrollo las herramientas de poder espectral para enseñar esto, para optimizar esto.

El FRACTAL DEL CORAZON perfectamente coherente es auto-similar. Imagine un simple experimento: piedras paramagnéticas (basadas en calcio, cuarzo, etc.) están arregladas para verse como una confiera desde arriba (como Stonehenge, Machu Pichu, etc.), en el centro el tiempo LAPSE (las fotos muestran como las semillas germinan dramáticamente mejor). (La compresión de carga = fuerza de vida – la base de un estudio largo de universidad). Luego disponiendo capacitores en la misma geometría CREA gravedad + extrae voltaje de la gravedad (auto-similaridad crea gravedad y VIDA – la forma como el EKG y las confieras lo hacen... por no mencionar el ADN). Ahora nosotros hemos re-inventado la arquitectura y la agricultura – basándonos en una nueva comprensión de la simetría eléctrica pura (lo auto-similar permite la compresión) que CREA LA VIDA (y le crea un alma al ADN)... Y reemplaza la formula de Einstein (y la crisis energética) con la mas correcta: SOLO lo auto similar permite la compresión (de carga) que se vuelve aceleración (gravedad)... y la VIDA
Gráficos
El número Phi (fi) - 1.618033... lo podemos derivar de tres maneras: matemáticamente, geométricamente y por secuencia numérica.
Phi es uno de los dos grandes tesoros de la geometría. Johannes Kepler dijo que el primero es phi y el segundo es el Teorema de Pitágoras. En un triangulo, phi forma las dimensiones de la gran pirámide de Egipto. Con una regla y un compás podemos crear el rectángulo áureo. El rectángulo áureo se usa extensivamente en la arquitectura como en el Partenón griego. Phi también define las dimensiones del pentágono.
Los cinco sólidos platónicos, llamados así porque Platón fue el primero en escribir sobre ellos, tienen la característica de ser cuerpos tridimensionales que tienen caras regulares. Las caras regulares son caras o polígonos cuyos lados son iguales, como el triangulo equilátero, el pentágono y el cuadrado. Los cinco sólidos platónicos son la base de la construcción de la materia y los encontramos relacionados con nuestra conciencia a través de los cinco centros de comando. Estos son: el tetraedro (4 caras triangulares), el hexaedro o cubo (6 caras cuadradas), el octaedro (8 caras triangulares), el icosaedro (20 caras triangulares), y el dodecaedro (12 caras pentagonales).

Además podemos relacionar cada uno de los cinco sólidos platónicos con las retículas terrestres y los Cinco Elementos de la tradición china, como sigue (de izquierda a derecha):
Tetraedro: Fuego
Hexaedro: Tierra
Octaedro: Aire
Icosaedro: Agua
Dodecaedro: Madera

Los matemáticos han encontrado que la Proporción Dorada se encuentra presente en tres de estos cinco sólidos platónicos: el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
En el interior del dodecaedro y del icosaedro podemos dibujar tres rectángulos dorados. Están dispuestos de tal forma que sus esquinas tocan todos los puntos centrales de las caras pentagonales del dodecaedro y todos los vértices del icosaedro. Además, es importante mencionar que si extendemos los vértices del dodecaedro o del icosaedro obtenemos su reciproco. Es decir, si extiendo los vértices del dodecaedro obtengo un icosaedro y si continúo haciendo lo mismo obtengo un dodecaedro en una siguiente dimensión y así infinitamente hacia adentro o infinitamente hacia fuera. Este principio de recurrencia fractal nos marca la pauta de creación en el universo.
En la animación de abajo podemos ver la Estrella Madre o Estrella de Metatron. Son los cinco sólidos platónicos contenidos uno dentro de otro en un espacio de embonacion perfecto. De adentro hacia afuera podemos observar de amarillo el dodecaedro, de azul claro el icosaedro, de verde el octaedro, de rosa el tetraedro y de negro el hexaedro o cubo. Este patrón de anidacion permite a las ondas/eventos embonar hacia el centro de gravedad de la materia sin auto cancelase ni cancelar a otras ondas/eventos. En Psicogeometria utilizamos una técnica terapéutica que nos permite arreglar los eventos dolorosos de nuestra vida en un patrón similar para que el evento pueda sortearse en nuestro escenario interno de conciencia y ordenarse de tal forma que no genere una confrontación interna. La solución del conflicto no radica únicamente en cobrar conciencia del conflicto sino en disponer este conflicto en una estructura geométrica que nos reestablezca nuestra paz interna.


Toroide Fractal
Imagen por Grupo Implosión (Dan Winter)
Hemos mencionado que la creación se originó en el vacío y del vacío surgió la Ley de Unidad. Esta ley de Unidad, consagrada en el tubo toroide, es creadora de nuestra conciencia cuando posicionamos en alguno de sus extremos nuestro foco atencional y creamos otro tubo toroide. En el patrón del Génesis es el segundo día de creación del que habla la Biblia y en el que se crea la luz. Es el surgimiento de la aparente dualidad y el surgimiento verdadero de la Ley de Tres Geométrica. Con este movimiento del espíritu surge la Vesica Piscis. La forma que tiene esta figura es la misma forma de todo aquello por donde entra o sale luz o energía/materia. La forma de nuestros ojos, la vagina, la uretra, etc. son ejemplo de ello. En esta figura esta contenida la raíz cuadrada de 2, 3 y 5. Abordamos profundamente este estudio de la Creación de la Conciencia en el Curso Uno de Psicogeometria: Principios geométricos de la Conciencia.

La espiral dorada es una de las formas que por naturaleza expresan la armonía perfecta del universo. Esta imagen está construida a partir de triangulos dorados y la podemos observar con toda claridad en la concha del Nautilus (ver más en nuestra sección de matemática). La espiral dorada es el camino que siguen las ondas (la vida) para salir o entrar hacia el punto cero: el origen de la vida, el vacío.
El Árbol de la Vida es una de las figuras geométricas más antiguas que han sido usadas por la humanidad. Geometricamente esta formado por un tetraedro, un hexaedro y un dodecaedro. Los cabalistas se han dedicado a su estudio. Representa un código que nos da las pautas de evolución que se ha mantenido a voces secretas en los círculos del poder. Cada uno de los vértices en el Árbol de la Vida, simboliza para los cabalistas una sefira. Cada sefira es un atributo de Dios. En Psicogeometria estudiamos el origen y las implicaciones geométricas de esta figura. No solamente desde la perspectiva cabalista sino desde un ángulo psicológico vinculado a nuestro cuerpo por medio de tres sistemas: el digestivo, el endocrino y el nervioso. El eneagrama de la tradición sufi y derviche esta contenido en esta figura. Exponemos ampliamente este código de evolución en el Curso Dos de Psicogeometria: Psicotipos en el Árbol de la Vida.
El proceso de creación de la vida ha sido descrito a lo largo de la humanidad por diferentes culturas. Algunas han sembrado su conocimiento en una síntesis geométrica. Los trazos como los que exponemos abajo se han encontrado en todas las latitudes y en todos los tiempos.
Semilla de la Vida - Estrella Tetraedrica
Imagen por Grupo Implosión (Dan Winter)
La Semilla de la Vida es el principio del Génesis. El Huevo de la Vida son los trazos que surgen de dos tetraedros imbricados y nos habla de la manifestación de la Ley de Octava Geométrica. La Fruta de la Vida es la plantilla de la tercera dimensión en la que superponemos los sólidos platónicos. La Estrella de Metatron es la estrella de vida que surge cuando imbricamos armónicamente todos los sólidos platónicos y creamos una Estrella Madre. Esta estrella contiene y es capaz de organizar la frecuencia y la velocidad de las ondas/eventos. Finalmente, como expresión última, de la extensión de los trazos de la Semilla de la Vida surge la Flor de la Vida. La Flor de la Vida es la expresión mas refinada de la creación. Contiene holográmicamente todos los sólidos platónicos y todas las figuras mencionadas.
En el Curso uno de Psicogeometria trazamos estas figuras y creamos mayor interconectividad entre los hemisferios cerebrales. La Flor de la Vida nos invita a despertar nuestra visión objetiva de la realidad.
La Fruta de la Vida - Desdoblamiento de la ley de 13
El Huevo de la Vida - Ley de Octava para la Música
La Semilla de la Vida - Patrón del Génesis

La Flor de la Vida - Conciencia del Cubo
"¿Cuál es el origen de la gravedad?"
Autor: Dan Winter, artículo original en ingles aquí
Compilación y traducción: Carlos para Psicogeometría México
Colaboración: Ninón Fregoso y Arturo Ponce de León
Einstein postuló la equivalencia entre la masa y la energía mediante su famosa fórmula E=mC² , cuya aplicación práctica vivenció trágicamente la humanidad con la detonación de armas nucleares durante el siglo XX. Es un hecho que la materia está constituida por paquetes energéticos altamente organizados que poseen por un lado las características esenciales de la dinámica energética (movimiento ondulatorio), y por otro lado, las características esenciales de la materia (masa). La masa fue asociada cualitativamente a la gravedad por Isaac Newton en su famosa Ley de la Gravitación Universal. Sin embargo, su naturaleza ha permanecido hasta la fecha como un gran misterio de la ciencia.
Dan Winter ha propuesto que la organización geométrica de la energía constituyente de la materia es lo que genera las características esenciales de la misma, incluida la gravedad. En algunos tipos de configuraciones geométricas basadas en el número PHI (1.618033, proporción áurea) conocidas por la humanidad desde hace mucho tiempo y presentes en la naturaleza en forma generalizada, se presentan en forma espontánea, repetible y coherente, centros de concentración energética denominados "puntos de implosión", cuya capacidad de succión y ordenamiento de la energía están relacionados directamente con la "similitud" que el cuerpo geométrico que los contiene guarda con la forma del Universo. A esta relación de similitud se le denomina "auto-recurrencia" o "fractalidad". A nivel atómico, la implosión es lo que provée la fuerza convergente necesaria para estabilizar el movimiento ondulatorio rotacional denominado "masa".
Al definir la masa simplemente como la resistencia al cambio de posición de paquetes ondulatorios en rotación, resulta evidente que una ley de tipo geométrico se requiere para explicar la razón de tal resistencia de las ondas al cambio de posición.
Einstein llamó a este problema insoluto: " El modelo geométrico de la compresión infinita no destructiva". La respuesta: abrir el tapón (punto de implosión) para permitir una via de escape a la carga eléctrica a la velocidad de la luz mediante un proceso de multiplicación aditiva (heterodinámico) recurrente.
Einstein sostuvo que la aceleración es debida a la gravedad, siendo por años esta la única tesis medible con relación a la naturaleza de la gravedad. Sin embargo, ahora sabemos que es la aceleración de la carga eléctrica a la velocidad de la luz lo que crea la gravedad, siendo el acelerador la interferencia constructiva ondulatoria de las velocidades de fase cuando los centros de carga / masa entran en un patrón geométrico autorrecurrente.
La prueba: La carga capacitiva dispuesta en arreglos geométricos auto-recurrentes basados en PHI crea gravedad.
Michael Faraday, mejor conocido como el "padre de la electricidad" sostuvo en el siglo XIX que "La capacitancia eléctrica es a la gravedad lo que la inductancia al magnetismo". Si Faraday está en lo correcto, la carga eléctrica almacenada en un capacitor presenta la forma de un campo gravitacional. Townsend Brown encontró experimentalmente que, en un capacitor cargado, la fuerza gravitacional resultante está orientada hacia la placa positiva del mismo, por lo que, si la placa positiva se encuentra sobre la negativa, el dispositivo pierde peso, mientras que, si se invierte la posición, el dispositivo pesa más.
La cantidad de gravedad creada en un átomo (o en cualquier cosa) está en proporción a la cantidad relativa de auto-similaridad (fractalidad) entre su interior (núcleo) y su exterior (electrones).
La proporción entre la recursividad de carga bajo tus pies y sobre tu cabeza es la cantidad de gravedad que sientes.
Existe una fuerte polémica entre algunos miembros de la comunidad científica internacional acerca de las investigaciones y postulados de Dan Winter con respecto a la relación "causa-efecto" entre la aceleración de la carga eléctrica y la gravedad. Sin embargo, no existe actualmente ninguna otra explicación científica al origen del fenómeno gravitacional. Lo cierto es que, al desarrollar esta teoría en aplicaciones prácticas, las posibilidades resultarían impresionantes: dispositivos antigravitacionales, obtención de energía eléctrica de la materia mediante patrones geométricos, viajes espaciales a grandes velocidades, por citar algunos ejemplos.
Decálogo de la Geometría Sagrada De un poema del 2do libro de Dan Winter “El alfabeto del Corazón de la Tierra”.Traducido y editado por Arturo Ponce de León.
1) El universo esta hecho de una sola sustancia: el Campo Unificado.
2) La sustancia universal tiene una única forma de onda – la onda senoidal.
3) El universo puede ser descrito como una geometría de anidación.
4) En un universo hecho de ondas, solo el Foco Atencional es el medio que crea.
5) La forma es lo único que el universo tiene para conservar. Todos los cambios cualitativos vienen de diferencias en la forma, no en la sustancia.
6) La única manera de conservar la forma es manteniendo el nido de proporciones que contiene longitud, profundidad y volumen.
7) El mejor camino para mantener un nido de Razones es la Proporción Dorada.
8) La coherencia en cualquier nivel es coherencia en todos los niveles.
9) El AND es la semilla de cristal de un cuerpo de luz de mayor dimensión.
10) La luz, cuando es doblada sobre si misma, se conoce a si misma.

Comentarios
1) El universo esta hecho de una sustancia: el Campo Unificado.
Todos conocemos la formula básica para esto E=MC2.La materia es solo mucha energía moviéndose tan lentamente que puede tocarse. La energía es solo poca materia moviéndose tan rápido que tenemos problemas para encontrarla. Son polaridad de la misma sustancia que se está moviendo o fluyendo en proporciones diferentes, constantemente. Esta alta compresibilidad es lo que almacena la forma y la memoria en su forma de onda.
2) La sustancia universal tiene una única forma de onda – la onda senoidal
Este principio de Fourier de transformación de registro de frecuencia significa que incluso la forma más compleja es una simple suma de ondas senoidales de longitudes diferentes.
3) El universo puede ser descrito como una geometría de anidación.
La geometría puede ser pensada aquí como la creación básica de simetría. Cualquier estructura simétrica crea un lugar donde las ondas que convergen. Aquellas que viajan en direcciones contrarias, pueden permanecer, eso es, estar en fase y en cerradura de fase. La permanencia de ondas da la ilusión de solidez que es la segregación del momentum que hace posible el nacimiento de la materia. La anidación ocurre donde las ondas convergen.
Solo la proporción es sagrada: la escala es mundana. La información es lo único universal en nuestro universo holográmico, cada parte contiene la información del todo. Entonces, compartir la forma en que las ondas convergentes crean formas sustentables, se vuelve una propiedad de la estructura inherente que emerge naturalmente del proceso mismo.
En un mundo hecho solo de ondas, solo debe haber dos formas geométricas, el toroide, o vórtice, y la espiral de proporción dorada. La forma del Tubo Toro, o dona, es la única estructura en un mundo de ondas que puede volverse coherente, es decir, que puede retener una forma regular como anillo de humo. Tanto como más de estos anillos de humo son creados y quieren relacionarse al primer anillo de humo, deben “anidarse” en un patrón correcto para que ellas puedan recordar su forma y compartir su estructura. El mejor camino para hacer esto es la razón que nosotros llamamos proporciona áurea.
Solo una forma de simetría de proporción Áurea va a permitir a las ondas convergentes añadir y multiplicarse al mismo tiempo. Solo en esta forma, de esta manera, las ondas pueden anidarse sin interferir con las demás y sin cancelar sus memorias. Una espiral de proporción Dorada puede anidar triángulos, cuadrados y pentágonos, creando un dodecaedro. El dodecaedro es la anidacion de razón Dorada perfecta para cambiar la información en una estructura coherente. Esa es la razón por la que también es el patrón de la molécula trenzada del ADN. Cuando la proporción Dorada ocurre, la dona icosaedrica y la dona dodecaedrica generan naturalmente los únicos otros dos números: PI y E.
De esta forma simple, y de estos tres números irracionales, que ocurren naturalmente, esta construido el universo. Sin ninguna duda los antiguos Egipcios llamaron a estas cualidades las fuerzas cosmológicas.
4) En un universo hecho de ondas, solo el Foco Atencional es el medio que crea.
La Atención, intensidad directa de la conciencia, ocurre cuando los nidos excitados de anillos de humo se vuelven fractalmente atractivos en los patrones creados por PHI, PI y E. Cuando esto ocurre también se vuelven materia, y la cualidad de atracción es entonces vista como gravedad. La intención, como gravedad, es una lente que dobla la luz. La atención en la forma de los grandes arquetipos geométricos genera una sensación de “gravedad” simbólica.
5) La forma es la única cosa que el universo tiene para conservar. Todos los cambios cualitativos vienen de diferencias en la forma, no en la sustancia.
Todo en nuestro mundo, toda la materia, eso es, todos los patrones fractalmente atractivos de densidad informacional, están compuestos de átomos, que son descritos por los físicos como un núcleo rodeado por electrones en capas de orbitales. Estas capas son el patrón, la forma y la proporción que es lo único que el universo debe conservar para conocerse a si mismo. Estas capas o formas son creadas por la anidacion de donas de energía o anillos de humo. Así, la Tabla Atómica se vuelve un simple equipo de patrones de ondas que describe su valencia como simetría. Todo puede ser creado de la anidacion de una dona, con un par de vértices; tres donas, con seis simples vértices de dirección; cinco donas, con diez vértices; y siete donas, con catorce vértices. Cuenta los vértices y tienes el número de electrones en cada capa de orbital.
Estos patrones de forma regular son llamados sólidos Platónicos porque Plato fue el primero que escribo de ellos: el tetraedro, un par de vértices; el octaedro/cubo, tres pares; el dodecaedro, cinco pares; y el icosaedro, siete pares. Estas formas básicas son importantes para transmitir la estructura íntima de ondas de la materia, mejor entendida como plantillas que generan la atención o intensidad necesaria para volverse fractalmente atractivas, eso es, doblar el flujo recto de energía de la luz en un círculo de materia atómica estructurada.
6) La única manera de conservar la forma en un camino es manteniendo el nido de proporciones que contiene longitud, profundidad y volumen.
El nido mas elegante de proporción es aquel en el que interviene Phi, Pi y E como en la espiral del ADN. Podemos pensar en esto como una simple prueba que el ADN es una estructura que esta codificada para transmitir información a lo largo del camino de la evolución temporal de la vida física de las formas del planeta. Todas las formas de vida en la superficie del planeta son los instrumentos y actores de una antigua opera épica fuertemente tejida en la estructura de nuestras células.
7) El mejor camino para mantener un nido de Razones es la Proporción Dorada
Torciendo un cubo cinco veces a 32 grados en el mismo espacio visual se crea un dodecaedro. Torciendo un dodecaedro 32 grados nos da las potencias de Phi; Phi al cuadrado, al cubo, etc. El camino de la proporción Dorada le permite a la información (la forma) moverse sin la perdida de momentum (mente). Tan cerca como nosotros podemos estar para crear esta forma y camino, tan grande nuestra conductividad es. Es decir, mayor energía puede fluir por nosotros. Cuando enfocamos nuestra intensidad en estas formas y patrones de flujo, creamos una especie de energía súper conductiva, un intercambio súper coherente de energía.
8) La coherencia en cualquier nivel es coherencia en todos los niveles
Un arreglo ordenado entre las longitudes de onda establece una conexión entre las frecuencias y los campos. Pero para que esta conexión perdure, debe resonar en todas las frecuencias y los campos. Esto puede ser solamente logrado por la estructura de resonancia de los caminos de la Proporción Dorada. La cascada armónica de la inter-conectividad es la estructura de nuestro universo holográfico, percibible como éxtasis.
9) El AND es la semilla de cristal de un cuerpo de luz de mayor dimensión.
El ADN, un cristal de estructuras perfectas de Phi que conecta las ondas largas con las ondas cortas, es un patrón de tercera-dimensión diseñado para transmitir información, en una forma de ser viviente, por el espacio y el tiempo, la cuarta dimensión. Su meta parece ser la creación de una inteligencia de quinta dimensión, capaz de ponerse en fase con la información del universo almacenada en el código cristalino de la geometría del ADN.
10) La luz, cuando es doblada sobre si misma, se conoce a si misma.
Una conciencia de quinta dimensión, que nosotros podemos categorizar como una que puede ver todo el espacio y el tiempo, la energía y la materia, como componentes de la forma de onda original, dobla la Luz en el circulo de la auto-conciencia. Esto crea la explosión de energía rica en rayos UV (azules) que acompaña el levantamiento de Kundalini, la cerradura de fase de las energías biológicas en el flujo de la información universal del flujo de energía. Este doblamiento crea la iluminación, un estado donde la conciencia de la mente universal se junta consigo misma en cada cruce de onda.
Ciencia de la Implosión Autor: Dan WinterTraducción y edición: Arturo Ponce de León para Psicogeometría México
La FUERZA DE VIDA es igual a la habilidad de atraer fractalmente (“implotar” por compresión perfecta) y auto organizar la carga eléctrica. Esencialmente el trabajo de Dan Winter podemos entenderlo como la Ciencia de la IMPLOSION. La Implosión es contraria en la vida a la explosión. Los capacitores biológicos fractales o auto-similares como las confieras, las rosas, tu tierra, y tu EKG (electrocardiograma) durante la compasión escogen los nidos recursivos basados en la Proporción Dorada (filotaxis). Esto crea fuerza centrípeta (implosiva) entre las ondas de carga (espíritu/Chi/orgone/barraca/fuerza de vida). Esto inicia la compresión – de lo que esta hecho el latido del corazón – y comienza a ordenarse en auto organización. Las ondas en Proporción Dorada suman y multiplican constructivamente sus velocidades de onda. Solo esta onda musical que crea la auto-similaridad – (la Proporción Dorada) – permite la que la compresión se vuelva aceleración, o también llamada Gravedad. Esto explica el voltaje llamado VIDA que se crea de la gravedad que tienen los huevos frescos, las confieras, y la gravedad que crea tu corazón. También describe por primera vez PORQUÉ los objetos caen a la tierra (la carga tiene un camino de salida de la velocidad de la luz). Nos explica por ejemplo porque los capacitores dispuestos en patrón de confiera crean gravedad (eliminando la necesidad de manejar carros empujados por desechos de dinosaurio – gasolina). También documentamos por primera vez la RAZON que la PROPORCION DORADA entre los armónicos del cerebro EEG (encefalograma) identifica a la FELICIDAD y la euforia clínicamente. La Implosión crea la felicidad que es la última solución para sanar el déficit de atención. La implosión crea succión cuya auto dirección es la diferencia entre ser auto-dirigido (por ejemplo en la muerto o en el sueño lucido) contra ser un parásito (por ejemplo, los sacerdotes que dicen que Dios esta fuera de ti.
La Aceleración/Implosión de la Carga Inducida por la Recursión de Phi es la solución para:El colapso infinito no destructivoLa compresión infinita / la aceleración perfecta / la FUSIONConjugación de fase perfecta (en óptica)Implosión hidrodinámica (ordenamiento último)Energía no linear (obtenida del voltaje de la gravedad)Aceleración de Carga a la velocidad de la Luz (gravedad)Medición de la ATENCION / felicidad / euforia en el EEG (electroencefalograma)Inducción de tono audible de la trascendencia del electroencefalogramaMedición de la apertura del corazón por EKG (electrocardiograma) / CompasiónAuto organización del Caos / Inteligencia ArtificialMedición y definición eléctricamente de la FUEZA DE VIDAOrigen geométrico puro de los Alfabetos (símbolo = embonar)La Forma del contacto que nos habla del amor.. Y del Santo Grial
Vea también como ... esta demostrado por Análisis de Espectro.
El día vendrá cuando, después de conquistar el espacio, los vientos, las mareas, la gravitación, debemos conquistar con Dios la energía del Amor. Y en ese día, por segunda vez en la historia del mundo, volveremos a haber descubierto el fuego (phuego – fuego que refiere a phi, razón dorada) – Pierre Tielhard De Chardin
La Danza de una Onda en su paso por la Geometría SagradaExtracto del libro “Gran Atractor de Implosión” de Dan WinterTraducción: Arturo Ponce para Psicogeometría
Para decir que una sustancia es comprimible - significa, entre otras cosas, que puede almacenar m o m e n t u m.
Almacenar momentum puede parecer en primer instancia trivial, pero todo en la naturaleza, las estrellas y los hermosos bebés existen debido a este talento. Nuestro mundo es concebido como un mundo de ondas. Nos es dado un vislumbre del mundo atómico como paquetes y bultos de ondas, encerrados en la geometría musical de un abrazo prolongado de ondas coherentes.
La naturaleza de las ondas requiere de compresibilidad. La compresibilidad requiere el almacenamiento de momentum (impulso adquirido). El almacenamiento de momentum permite que el orden se almacene y se recupere. Una superficie de ondas multi-conectada permite el almacenamiento de información multi-conectada. El toroide (dona) es la superficie original de ondas multi-conectadas. La tabla atómica es una agrupación poligonal (muchas caras) de vórtices toroidales y esta arquetípicamente multi-conectada. El universo esta ininterrumpido como superficie de onda, esta multi-conectado, y es holográfico.
El medio comprimible universal es un campo unificado. La pregunta importante que surge de nuestra comprensión del universo como un universo ondulado en su naturaleza es: ¿Cuál es el papel de mente – o - C o n s c i e n c i a - entre las ondas?
Hemos comprendido que las diferencias entre las fuerzas fundamentales no son diferencias de "sustancia" sino de escala. (Las proporciones son sagradas, las escalas son profanas). Los principios de la Interferencia de onda son los mismos para las ondas entre las células nerviosas y su sinapsis así como para las capas del electrón en su nivel quántico. Llevan las mismas fuerzas de compresibilidad y de almacenamiento de información a través de los mismos medios de comunicación - simplemente actúan en escalas diferentes.
Al principio no vemos que la información que baila en el nivel de la capa del electrón, comparte la música de la danza con la sinapsis del sistema nervioso. Sus "escalas" están enormemente fuera del rango una de la otra. Aquí esta nuestro desafío de ver a la mente entre las ondas como algo más interesante. Información / momentum /mente embonan entre frecuencias cuando viven en un útero geométrico confortable (madre-materia-material).
Si usted tira de un pedazo de listón de sus extremos, se encoge ligeramente en sus lados. Así un movimiento pequeño puede unirse enérgicamente a uno grande. La piezoelectricidad del cuarzo es creada por su habilidad para llevar energía entre frecuencias hacia abajo de la espiral (un fuente espiral asimétrica de vida electrónica). El ADN es como una fuente espiral en su papel de conectar la célula al anillo coreográfico (y en forma de campana) con su cuerpo etérico.
El cerebro también descansa resonando en lo alto de una espiral serpentina de "chakras" glandulares. Se encuentra en fase acústica con el corazón. Durante el éxtasis del acoplamiento piezoeléctrico del cerebro a la danza de las glándulas, dispara la secreción de las hormonas psico-activas y el líquido dopa el canto eléctrico del cuerpo cristalino.
Así el sonido de la danza eléctrica de la conectividad comienza como un lugar donde las frecuencias se tocan entre ellas. En el cuerpo este patrón de alcanzarse para tocarse entre las escalas, esta diseñado para ir mas allá del sonido tocando la luz. Este es el eje de Eros del otro lado donde el dedo de Dios toca la matriz de la materia a través del intervalo de chispa que es el hombre: El puente entre los mundos. Cuando las semillas del orden son plantadas en medios nutritivos, pueden crecer más allá de los límites de su útero. La prisa de momentum para crecer - alrededor de la semilla del vórtice - con un centro de gravedad (un corazón bueno), no conoce ningún límite. La implosión - Es el éxtasis - así se genera - Alrededor del pensamiento simiente, que es enseguida UN Sentimiento de conectividad - el Amor - cada unión: es una cerradura de fase para compartir incondicionalmente.
Ahora nosotros podemos ver cómo la atención, el Enfoque, O la no-mente, pueden ser el medio para la creación - En un medio de ondas: Sólo la onda que puede permanecer como una onda, puede almacenar su información / momentum.
Para mantenerse, la onda debe compartir incondicionalmente su momentum en una geometría/matriz/útero. Requiere del espejo de sí misma regresándose en sí misma para crear el nodo de la onda que tiene la ilusión de la estabilidad. El momentum en direcciones simétricamente opuestas crea estabilidad/materia/Maya.
Para entrar en la materia-femenina-rotatoria, la línea-masculina-energía debe ser iniciada en el camino de la danza espiral del momentum. El camino de conservación del momentum entre las frecuencias en la cuerda de equilibro (una soga ligera), entre la energía y la materia, la línea y el circulo, es la Espiral de la Proporción Dorada.
El enfoque y la atención es el poder para sostener un nodo de onda (o pensamiento simiente) arreglado en el flujo, como escogiendo una nota (o nodo) poniendo el dedo en el traste de la cuerda de una guitarra - la forma de la onda que le es permitido permanecer, es escogida en los lugares de quietud.







lunes, 19 de noviembre de 2007

Aplicacion de TICs en Matematicas Integradas




Utilizar el recurso INTERNET para conocer los modelos Tipo Fractal en la Naturaleza, donde la armonia estetica se funda desde las dimensiones auricas matematicas.
Se reconoce el sentido de belleza desde la Proporcion Aurea.


http://www.youtube.com/watch?v=uas_HJNAzfw&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=j-AdOm7VfLI&feature=related

Propuesta Mirada espacial de las Matematicas

Tres números con nombre

Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son:

  • El número designado con la letra griega = 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2..radio= .diámetro).

  • El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general .

  • El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.

Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se les llama irracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamente unas cuantas cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos tomado 5).

Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna ecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras que el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado es que da como resultado el número de oro.

La sección áurea y el número de oro

La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea.

Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada anteriormente

Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver

Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=.

Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor entre el menor,

Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el número de oro.

El rectángulo áureo

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es (nuestro número de oro).

Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).

Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.

En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán entonces:

Vamos a demostrar que los vectores y son proporcionales:



Por lo tanto, los tres puntos están alineados.

Pitágoras y el número de oro

Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusión de las ideas pitagóricas.

La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero de oro.

Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.

También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea.

Ver la sección La trigonometría y el número de oro.

La sucesión de Fibonacci

Consideremos la siguiente sucesión de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55.

Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci"*.

*Es el sobrenombre con el que se conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros la ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente al romano.

La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de esta sucesión:

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
  • Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto (1+1+2+3 + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te sale el séptimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).

  • Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5) sale el sexto término (t6), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) sale el octavo término (t8), (1+2+5+13 = 21).

  • Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6) y añades 1, sale el séptimo término (t7), (1+3+8 + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) y añades 1, sale el noveno término (t9), (1+3+8+21 + 1 =34).

¡Aún las hay más difíciles de imaginar!

  • Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t4=3 y t5=5; elevando al cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de la sucesión. Tomando t6=8 y t7=13; elevando al cuadrado y sumando: 82+132=64+169=233 que es el (6+7) decimotercero término de la sucesión.

  • Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término: 12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del sexto y el séptimo término:12+12+22+32+52+82=104=8*13.

  • Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:

1 : 1 = 1
2 : 1 = 2
3 : 2 = 1´5
5 : 3 = 1´66666666
8 : 5 = 1´6
13 : 8 = 1´625
21 :13 = 1´6153846....
34 :21 = 1´6190476....
55 :34 = 1´6176471....
89 :55 = 1´6181818....

Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a =1,61803.... En lenguaje matemático,

Efectivamente,

El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza

El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, ...

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=.

Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2.

Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.

Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco.

Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.

En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas.

La espiral logarítmica

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.

La trigonometría y el número de oro

Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales. En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportan información adicional. Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos, que llamaremos: BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c y GF=d. Las longitudes de estos segmentos cumplen: a>b>c>d.

Consideremos cada uno de estos triángulos por separado y apliquemos el teorema del seno.

Triángulo ABE

Triángulo ABF

Triángulo AFG

Como 72º=180º-108º, se verifica que sen72º=sen108º.

En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones:

Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor a menor, la razón entre cada una de ellas y la siguiente es constante e igual a nuestro número de oro.

Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c=a-b y haciendo b=1:

(el numero de oro)

Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea.

Como consecuencia, se verifica .

Curiosidades áureas

Potencias. Los números guardan unas curiosas relaciones entre si. Efectivamente, podemos deducirlas a partir de la ecuación que tiene como solución el número de oro:

Potencias 2. Consideremos la sucesión de término general: . Si calculamos los primeros términos, podemos observar una curiosa relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias

podemos concluir que la sucesión dada se convierte en

Evidentemente, cada término a partir del tercero se puede obtener sumando los dos anteriores. Lo curioso es que esta relación es la misma que se verifica en la sucesión de Fibonacci.

Limites. Comprobemos que los siguientes límites dan como resultado el número de oro:
1 2

1. Llamemos "L" al valor del límite. Fácilmente se comprueba que se verifica la ecuación . Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación final . Una de las soluciones de esta ecuación es nuestro número de oro .

2. Sea "M" el valor del límite. Se comprueba la relación . Quitando denominadores y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación cuya solución positiva es el número de oro.